miércoles, 5 de marzo de 2008

Definiciones y sistema de relaciones en el EOS

Se incluye a continuación la contribución realizada por Jaime H. Romero C. y Pedro Javier Rojas G. (Universidad Distrital, Bogotá, Colombia) en el foro, seminario-idm-eos, el día 21/2/2008.


Cuando una teoría es compleja, la vaguedad en las descripciones formuladas es necesaria, su carácter contextual y la posibilidad de construir relaciones resultan fundamentales; sin embargo, desde nuestra formación "tradicional" en una disciplina como la matemática, nos habituamos a una manera de actuar desde "la" teoría de conjuntos -al menos en el contexto universitario-, con una lógica bivalente, lo cual ha hecho que consideremos como necesidad que toda definición que se formule sea completamente "bordeable" -en tanto, dado un objeto, queremos decidir si cumple o no con lo requerido en la definición-.

Ahora bien, si estamos hablando de la pragmática (vinculada con el espacio y el tiempo), ésta no puede ser abordada desde la Teoría de Conjuntos -que precisamente requirió desprenderse tanto del espacio como del tiempo-. Aunque la teoría de conjuntos surge de unos tipos específicos de práctica, no tenía como propósito capturar esos sistemas de práctica. Si revisamos varias de las intervenciones realizadas en el marco de este seminario, posiblemente podamos reconocer que, en cierta forma, estamos pretendiendo abordar la
complejidad de lo planteado desde la EOS haciendo uso de formas o procedimientos de orden lógico y lingüístico provechosos para estudiar la teoría de conjuntos "clásica" (compatible con la lógica bivalente); perspectiva que, por ejemplo, afianza en nosotros la idea de que si una proposición tiene un valor de verdad, su negación tiene un valor de verdad contrario, lo cual significa la aceptación del principio del tercero excluido; principio que desde otras teorías matemáticas fructíferas no es posible asumir, como sucede en teoría de categorías, donde tal imposibilidad es un requerimiento.

Cuando hablamos de fructíferas no es sólo en cuanto al desarrollo matemático sino también en lo que tiene que ver con sus aplicaciones tecnológicas (en comunicaciones, en inteligencia artificial y en informática, entre otras. En particular, podemos reconocer que el uso de la lógica difusa en el diseño de software permite hacer cosas
que con la lógica bivalente resulta imposible, como capturar arquetipos –básico en el scanner como instrumento de conversión de imagen a texto-). No sobra recordar que en esta comunidad de práctica existen muchos matemáticos que no aceptan el principio del tercero excluido, entre ellos se encuentran autoridades a nivel
mundial como Pearce, Brouwer, Grothendieck y Thom [en Colombia podemos citar a dos reconocidos matemáticos: Xavier Caicedo, Fernando Zalamea y Arnold Oostra].

Desde lo planteado anteriormente, queremos resaltar que, incluso en matemáticas, hay maneras diferenciadas de razonar, que asumen lógicas diferentes a la bivalente, y que la teoría de la EOS está participando de una concepción más compatible con estas maneras diferentes (no propiamente nuevas) de argumentar, razonar y hacer matemáticas.

Por otra parte, acudiendo a uno de los documentos propuestos para el Seminario (Godino, 2003), queremos resaltar dos hechos, relacionados con nuestra forma de «mirar el mundo»:

(1) La intención de "bordear" con una definición. Si la producción de pensamiento y los instrumentos son inseparables -el instrumento es pensamiento-, resulta imposible separar lenguaje y pensamiento (igualmente lenguaje y signo). Así, en la tipología de los objetos matemáticos propuesta, se puede reconocer objetos como lenguajes, situaciones y procedimientos, que son diferenciables, reconocibles, caracterizables, pero no "tajantemente" separables. Hablar de ideas claras y distintas no siempre significa separar, en tanto resulta
imposible eliminar ciertas "cercanías" y/o traslapamientos. A manera de ejemplo de un reconocimiento de esta imposibilidad, retomamos la siguiente cita realizada por Godino (p. 15-16):

Sfard rechaza la concepción que propone los signos y los significados como entidades independientes y adopta la visión de psicólogos como Vygotsky y semióticos como Peirce, de que los signos (el lenguaje en general) tiene un papel constitutivo de los objetos de pensamiento y no meramente representacional. Está de acuerdo básicamente con el postulado Wittgensteiniano de que el "significado de una palabra está en su uso en el lenguaje", pero tiene también la convicción de que desde el punto de vista psicológico, el problema del significado no se puede reducir sólo al análisis lingüístico.
La tesis central que defiende Sfard en este trabajo es que "el discurso matemático y sus objetos son mutuamente constitutivos: La actividad discursiva, incluyendo la producción continua de símbolos, es la que crea la necesidad de los objetos matemáticos; y son los objetos matemáticos (o mejor el uso de símbolos mediado por los objetos) los que, a su vez, influyen en el discurso y le lleva hacia nuevas direcciones"

[Tomado de Godino (2003). Marcos teóricos de referencia sobre la Cognición matemática, consultado el Febrero 14 de 2008 en: http://www.ugr.es/~jgodino/fundamentos-teoricos/02_MarcosCM.pdf]

(2) El carácter pragmático de la EOS. Desde la propuesta de Godino, se reconoce explícitamente este hecho; es justamente desde allí que se discute la insuficiencia de lo propuesto por Wittgestein (p. 17):

[…] La filosofía de Wittgenstein nos parece insuficiente para basar en ella el análisis de los procesos de estudio de las matemáticas.
Concebir la matemática como la gramática del uso de símbolos y expresiones resuelve el problema de explicar el carácter necesario de las proposiciones, pero no para explicar la eficacia de su aplicación, ni la motivación de su adopción. ¿Cómo se generan las reglas? No basta con saber seguir las reglas, hay que conocer su motivación, su aplicación, y sobre todo saber derivar nuevas reglas útiles para organizar nuestros mundos.


La pragmática requiere el uso de una lógica no bivalente, pues toda actividad humana es multirelacional, en tanto se gestiona en múltiples "planos" de vivencia del sujeto//sociedad. En términos de Bülher: cognitivo, expresivo y apelativo; desde Grize: cognitivo, expresivo y regulativo; desde Habermas se agrega a los propuestos por Grize el plano imperativo -la expresión del poder. Un autor, muy probablemente más conocido por los participantes de este seminario es Duval, éste sobre el discurso matemático captura esta interrelacionalidad de los diferentes planos presentes en una experiencia discursiva en matemáticas proponiendo tres componentes del sentido de proposiciones enunciadas en un discurso.

Insistimos, cuando se trata de actividad humana se requiere tener en cuenta que esta actividad existe y transcurre en diversos planos, que interactúan y se estructuran temporalmente de maneras que responden a las estructuras de la acción.

Otros ejemplos de teorías construidas desde un entorno de la complejidad, con maneras diferenciadas de mirar el mundo: Teoría de Haces, Topos, Motivos (Teorías matemáticas), Teoría de los campos de Bourdieu (Teoría sociológica), …

Finalmente, no pretendemos aquí agotar una discusión rica y fructífera, como es dable suponer; sin embargo, intentaremos próximamente desarrollar y complementar algunas de las ideas aquí someramente expuestas.

Jaime H. Romero C. y Pedro Javier Rojas G

(Contribución al foro, seminario-idm-eos, realizada el 21/2/2008)

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